Moyennisation de Processus de Markov Déterministes par Morceaux avec des dynamiques rapides comportant plusieurs points d'équilibres

Mots clés

Piecewise Deterministic Markov Processes, Moyennisation, Exposant de Lyapunov

Détail de l'offre

Cette thèse étudie une famille de PDMP $(X_t^n,I_t^n)$ où la composante discrète $I_t^n$ évolue par sauts sur un ensemble fini d'indices, tandis que la composante continue $X_t^n$ suit, entre deux sauts, un flot déterministe dépendant de l'état courant de $I_t^n$. La dynamique de $X_t^n$ est supposée beaucoup plus rapide que celle des sauts : lorsque $n$ tend vers l'infini, la composante continue évolue donc presque instantanément vers les structures attractives du flot associé. L'objectif principal est de comprendre le comportement asymptotique de la suite des positions aux instants de saut $Y_k^n=(X_{\tau_k^n}^n,I_{\tau_k^n}^n)$.

Lorsque chaque champ de vecteurs possède un unique équilibre globalement asymptotiquement stable, il est connu que $Y^n$ converge vers une chaîne de Markov discrète décrivant les transitions entre ces équilibres. La thèse s'intéresse au cas plus complexe où plusieurs points d'équilibre coexistent, certains pouvant être communs à différents champs. Dans ce cadre, les propriétés ergodiques utilisées dans les travaux antérieurs disparaissent, ce qui rend les méthodes classiques inopérantes. On s'attend alors à l'apparition de dynamiques limites non markoviennes, dépendant finement des vitesses d'attraction et de répulsion autour des équilibres.

Une motivation importante provient de l'étude des exposants de Lyapunov associés à des systèmes linéaires commutant entre matrices positives, rencontrés notamment en épidémiologie et en dynamique des populations. Après passage en coordonnées polaires, ces modèles conduisent à des PDMP dont les champs peuvent posséder plusieurs équilibres. Comprendre la limite de $(\theta^n,I^n)$ permettra alors d'analyser le comportement asymptotique des mesures invariantes et des exposants de Lyapunov associés.

Le travail commencera par des modèles simples en dimension 1 avec deux champs de vecteurs et des sauts indépendants de la position. Une fois la limite de $Y^n$ identifiée, l'étude portera sur son comportement à long terme ainsi que sur la possible non-commutativité des limites en temps et en vitesse. La convergence du processus complet $(X_t^n,I_t^n)$ vers un processus de sauts sera également étudiée, avant d'envisager des extensions en dimension supérieure et avec des dynamiques plus générales.