Immersions isométriques et surfaces de Ricci généralisées

Mots clés

géométrie différentielle, géométrie riemmannienne, surface minimale, immersion isométrique, courbure

Détail de l'offre

Les surfaces minimales et les surfaces à courbure moyenne constante (CMC) constituent un sujet classique en géométrie différentielle,
faisant appel à des techniques de domaines différents comme la géométrie riemannienne, l'analyse complexe, la topologie et les équations
aux dérivées partielles. Ces surfaces apparaissent dans des problèmes variationnels, comme la minimisation de l'aire avec ou sans
contrainte sur le volume renfermé par la surface, notamment le problème isopérimétrique.
La théorie des surfaces minimales a commencé au 18e siècle avec les débuts du calcul des variations (Euler, Lagrange). Le lien avec les
fonctions holomorphes a été développé au 19e siècle entre autres par Riemann, Weierstrass et Schwarz. La théorie a connu depuis une
évolution continue, notamment par l'introduction de nouvelles techniques provenant des EDP et de la théorie géométrique de la mesure, et
d'importantes conjectures ont été résolues depuis les années 2000. Certains aspects du sujet sont aussi étroitement liés aux flots
géométriques et à des problèmes de la relativité générale.

Dans cette thèse on s'intéressera plus particulièrement à des caractérisations intrinsèques des métriques de certaines surfaces minimales ou CMC. Ces problèmes remontent aux travaux de Ricci qui a donné une condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface riemannienne à courbure strictement négative puisse être localement immergée isométiquement comme surface minimale dans l'espace euclidien de dimension 3. C'est seulement en 2012, par des techniques d'analyse, qu'A. et S. Moroianu ont étendu ce théorème sans supposer que la courbure est strictement négative. Cela les a amené à introduire la notion de surface de Ricci.

Dans un travail récent, B. Daniel et Y. Zang ont appliqué le résultat d'A. et S. Moroianu et divers théorèmes d'immersions isométriques pour étendre ces résultats à d'autres classes de surfaces, comme les courbes complexes dans les espaces formes kaehlériens de dimension 2, les courbes presque complexes à torsion nulle dans la sphère standard de dimension 6, etc. Ceci a motivé la notion de surface de Ricci généralisée.

Dans cette thèse on pourra s'intéresser à plusieurs questions concernant ces surfaces de Ricci généralisées : construction et classification d'exemples compacts ou non compacts avec géométrie à l'infini prescrite, extension des théorèmes d'immersions isométriques dans certains cas manquants, notamment à courbure négative ou des cas lorentziens ou semi-riemanniens, etc.