Offre de thèse
Répartition du nombre des facteurs premiers dans certains sous-ensembles rares d'entiers
Date limite de candidature
31-05-2024
Date de début de contrat
01-10-2024
Directeur de thèse
STOLL Thomas
Encadrement
Rdv hebdomadaires
Type de contrat
école doctorale
équipe
ANALYSE ET THEORIE DES NOMBREScontexte
En ordre moyen, le nombre de facteur premiers distincts d'un entier compris entre 1 et x est log log x. Notons omega(n) le nombres des facteur premiers distincts de l'entier n. En 1917, Hardy et Ramanujan ont montré le théorème suivant, considéré comme fondateur de la théorie probabiliste des nombres : pour presque tout entier n<x, omega(n) est proche de log log x. Autrement dit, un ordre normal de omega(n) est log log n. Une extension spectaculaire du théorème de Hardy-Ramanujan est le théorème d'Erdoes-Kac de 1939 qui décrit explicitement la loi limite. Il stipule que la répartition de omega(x) tend vers une loi gaussienne. Le sujet de thèse consiste à étudier la fonction arithmétique omega pour deux classes d'entiers, d'une part celle des premiers translatés, i.e. les entiers p-1 avec p premier, et d'autre part les entiers criblés, i.e. des entiers avec aucun facteur premier petit.spécialité
Mathématiqueslaboratoire
IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
Mots clés
théorie des nombres, probabilités, combinatoire
Détail de l'offre
Le sujet de thèse consiste à étudier la fonction arithmétique $\omega$, qui donne pour entier son nombre de facteurs premiers distincts, pour deux classes d'entiers, d'une part celle des premiers translatés, i.e. les entiers $p-1$ avec $p$ premier, et d'autre part les entiers criblés, i.e. des entiers avec aucun facteur premier petit. Voir pdf pour les détails.
Keywords
number theory, probability theory, combinatorics
Subject details
The aim of the proposed PhD thesis is to study the arithmetical function $\omega$ which gives the number of distinct prime factors of an integer, for two classes of integers : the translated prime numbers, i.e. of the form $p-1$ with $p$ prime, and for the sieved integers, i.e. the integers with no small prime factor. See pdf for details.
Profil du candidat
Formation très conséquente en mathématiques fondamentales, en théorie des nombres, en analyse et en probabilités.
Candidate profile
Cursus in Pure Mathematics with an emphasis on Number Theory, Analysis and Probability Theory.
Référence biblio
* K. Alladi, The distribution of nu (n) in the sieve of Erastosthenes, Quart. J. Math. Oxford, (2), (33) (1982), 129-148.
* M. Balazard, Unimodalité de la distribution du nombre de diviseurs premiers d'un entier, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 40, 2 (1990), 225-270.
* O. Gorodetsky and L. Grimmelt, On a conjecturee of Elliott concerning a probabilistic variant of Titchmarsh's divisor problem, prépublication (2023).
* E. Goudout, Erdoes-Kac Theorem for integer translates with k prime factors, J. Number Theory, 210, (2020), 280-291.
* A. Raouj, A. Stef, G. Tenenbaum, Mesures quadratiques de la proximité des diviseurs, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 150, (2011), 73-96.
* A. Stef, L'ensemble exceptionnel dans la conjecture d'Erdoes concernant la proximité des diviseurs, Thèse de doctorat de Mathématiques, Université Nancy 1, (1992).