Offre de thèse
Nouvelles situations en théorie Kazhdan-Lusztig
Date limite de candidature
31-12-2025
Date de début de contrat
01-10-2025
Directeur de thèse
CHAPUT Pierre-Emmanuel
Encadrement
Le doctorant sera encadré sous ma direction durant 3 ans.
Type de contrat
école doctorale
équipe
GEOMETRIEcontexte
travaux de Kazhdan et Lusztigspécialité
Mathématiqueslaboratoire
IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
Mots clés
géométrie algébrique, théorie des représentations
Détail de l'offre
La théorie Kazdhan-Lusztig, telle que présentée dans le livre de Achar (Perverse Sheaves and Applications to Representation Theory) établit un lien entre des objets géométriques (faisceaux constructibles B-équivariants sur une variété de drapeaux G/B) et des objets algébriques (algèbres de Hecke du groupe de Weyl correspondant).
La richesse de ce lien a au moins deux conséquences :
Il permet d'obtenir des informations géométriques sur ces faisceaux (typiquement, la fibre en un point du complexe d'intersection des variétés de Schubert).
Il permet d'avoir des informations sur l'algèbre de Hacke (typiquement, les constantes de structure du produit exprimé dans la base canonique sont des polynômes en le paramètre formel q à coefficients positifs ou nuls).
Cette théorie a historiquement été développée pour les variétés de drapeaux G/B avec G groupe algébrique réductif et B un sous-groupe de Borel, puis a été doublement généralisée au cas où G est remplacé par un groupe de Kac-Moody et B par un sous-groupe parabolique.
Dans toutes ces situations, un point déterminant est que l'ensemble des B-orbites dans G/B (ou G/P) ne dépend pas du corps sur lequel on se place (si G est de dimension finie cet ensemble d'orbites est fini, dans le cas Kac-Moody il est infini mais se décrit encore de façon combinatoire).
Le but de cette thèse sera d'examiner si d'autres cadres se prêtent à une théorie similaire. Un cas à envisager sera celui des variétés sphériques : dans ce cas on sait déjà que l'ensemble des orbites est fini et que cet ensemble a une description combinatoire qui ne dépend pas du corps de base.
Un autre cas envisageable est celui où l'on a un nombre fini de G-orbites dans un produit G/P1×G/P2​×G/P3​ (le cas historique correspondant aux G-orbites dans le produit G/B×G/B).
Une situation plus spéculative mais aussi plus novatrice consisterait à considérer le sous-groupe des points fixes d'un automorphisme involutif dans un groupe de Kac-Moody (analogue de dimension infinie aux espaces symétriques, qui sont des cas particuliers de variétés sphériques).
Keywords
algebraic geometry, representation theory
Subject details
Kazhdan-Lusztig theory, as presented in Achar's book (Perverse Sheaves and Applications to Representation Theory), establishes a link between geometric objects (B-equivariant constructible sheaves on a flag variety G/B) and algebraic objects (Hecke algebras of the corresponding Weyl group). The richness of this link has at least two consequences: It allows for obtaining geometric information about these sheaves (typically, the fiber at a point of the intersection complex of Schubert varieties). It provides information about the Hecke algebra (typically, the structure constants of the product expressed in the canonical basis are polynomials in the formal parameter q with non-negative coefficients). Historically, this theory was developed for flag varieties G/B with G a reductive algebraic group and B a Borel subgroup, and was then doubly generalized to the case where G is replaced by a Kac-Moody group and B by a parabolic subgroup. In all these situations, a determining factor is that the set of B-orbits in G/B (or G/P) does not depend on the ground field chosen (if G is finite-dimensional this set of orbits is finite; in the Kac-Moody case it is infinite but can still be described combinatorially). The goal of this thesis will be to examine whether other frameworks lend themselves to a similar theory. One case to consider will be that of spherical varieties: in this case, it is already known that the set of orbits is finite and that this set has a combinatorial description that does not depend on the ground field. Another conceivable case is one where there is a finite number of G-orbits in a product G/P1×G/P2​×G/P3​ (the historical case corresponding to the G-orbits in the product G/B×G/B). A more speculative but also more innovative situation would be to consider the subgroup of fixed points of an involutive automorphism in a Kac-Moody group (an infinite-dimensional analogue of symmetric spaces, which are specific examples of spherical varieties).
Profil du candidat
géométrie algébrique, groupes algébriques, théorie des représentations
Candidate profile
algebraic geometry, algebraic groups, representation theory
Référence biblio
Achar, Perverse Sheaves and Applications to Representation Theory