Offre de thèse
Automorphismes et G-structures en géométrie multisymplectique - cas régulier et singulier
Date limite de candidature
31-05-2025
Date de début de contrat
01-10-2025
Directeur de thèse
WURZBACHER Tilmann
Encadrement
Les deux encadrants assureront l'encadrement à parts égales.
Type de contrat
école doctorale
équipe
ANALYSE ET THEORIE DES NOMBREScontexte
La géométrie n-plectique est un champ jeune, riche, entre la géométrie différentielle, la physique mathématique et la topologie homotopique. Elle pose des questions nouvelles à la fois locales et globales, algébriques et géométriques, avec un fort potentiel d'interdisciplinarité. Voici un aperçu de ce qui 'se passe' actuellement dans ce domaine très actif, et qui est en train d'arriver à une certaine maturité. 1) Lie ∞ et quantification. En géométrie symplectique, les observables forment une algèbre de Lie via le crochet de Poisson. Quantifier (au sens de la mécanique quantique) de ces structures est un domaine actif, encore largement ouvert. 2. ) Applications à la physique – champs classiques et théorie des cordes : La géométrie multisymplectique est particulièrement bien adaptée pour formuler les équations de théories des champs classiques dans un cadre géométrique. Dans ce contexte, la forme multisymplectique encode simultanément les équations d'Euler–Lagrange et les lois de conservation (via le formalisme de De Donder–Weyl). 3) Des efforts considérables sont en cours pour comprendre les symétries supérieures via des objets tels que les groupoïdes de Lie supérieurs, les ∞-groupoïdes et les gerbes. Ces structures permettent de modéliser des actions non pas seulement entre points, mais entre chemins, surfaces, homotopies, etc. Cela prolonge la vision traditionnelle des symétries vers des contextes homotopiques et catégoriques. 4) Il y a aussi des questions profondes sur la rigidité ou la flexibilité des structures multisymplectiques, étudiées par un doctorants de Wurzbacher qui participera aussi, évidemment, à l'encadrement.spécialité
Mathématiqueslaboratoire
IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
Mots clés
multisymplectique, structures à homotopie près, algèbres Lie-infini, G-structures
Détail de l'offre
Ce projet de thèse porte sur la géométrie multisymplectique, une extension de la géométrie symplectique aux formes différentielles fermées de degré supérieur, dont la logique est très différente de la 'logique' ssmplectique et reste encore mal comprise. Dans ce cadre, une forme multisymplectique est une forme ω de degré n+1, fermée et non dégénérée (en un sens adapté), qui permet d'enrichir les structures utilisées notamment en physique théorique et en géométrie différentielle. L'objectif général est d'étudier les automorphismes de telles formes, c'est-à-dire les difféomorphismes de la variété sous-jacente qui préservent ω, et d'explorer leur action sur la variété.
Un des points centraux du projet est l'examen de la conjecture dite '0–1–∞' (formulée par Ryvkin et Wurzbacher), selon laquelle un groupe d'automorphismes d'une variété multisymplectique ne peut agir que de manière non transitive, 1-transitive ou ∞-transitive, sans autres possibilités intermédiaires. Tester cette conjecture implique de mieux comprendre les propriétés globales et locales de ces groupes de symétries, ainsi que les contraintes imposées par la géométrie de ω.
Un enjeu important est aussi de caractériser les situations où la structure multisymplectique peut être localement trivialisée par des coordonnées plates, c'est-à-dire un système local dans lequel ω possède des coefficients constants. Cette problématique, bien connue en géométrie symplectique (via le théorème de Darboux), devient nettement plus délicate dans le cadre multisymplectique, où l'existence de telles coordonnées n'est pas du tout garantie. On fait alors appel à la théorie des G-structures, qui permet de reformuler ces questions d'intégrabilité en termes de structure de fibré principal et d'obstructions géométriques.
La thèse se décompose en trois volets :
1° Cas régulier (type linéaire constant) : on étudiera l'intégrabilité (formelle ou non) des G-structures associées à ω, et on cherchera à quantifier les éventuelles obstructions.
2° Étude du groupe d'automorphismes : on analysera les conditions dans lesquelles ce groupe est de dimension finie, agit de façon transitive, k-transitive ou ∞-transitive. Cela permettra d'évaluer la portée de la conjecture 0–1–∞.
3° Cas singulier (type linéaire non constant) : on considérera les points où le type local de ω varie, en étudiant les symétries internes associées, c'est-à-dire les champs hamiltoniens X définis par des équations de type i_X ω=dα. Ces champs forment en général des structures Lie-∞, très différentes des algèbres de Lie classiques.
Dans ce dernier cadre, le projet s'appuie sur des développements récents autour des groupoïdes de Lie supérieurs. Ces derniers permettent de décrire les symétries non seulement entre points, mais aussi entre chemins, homotopies et au-delà, ce qui est essentiel pour comprendre les structures hamiltoniennes en géométrie supérieure. Par exemple, en géométrie 2-plectique, la notion de trajectoire devient celle d'une surface hamiltonienne contrainte par des relations de 2-flèches dans un groupoïde supérieur.
Ce travail s'inscrit dans une dynamique de recherche active à Metz. Il vise à mieux comprendre les structures multisymplectiques dans des contextes à la fois réguliers et singuliers, en allant au-delà des approches classiques pour intégrer pleinement la dimension 'supérieure à homologies près' des symétries intervenant en géométrie et en physique.
Keywords
multisymplectic, structures up top homotopy, L-infinity algebras, G-structures
Subject details
is thesis project focuses on multisymplectic geometry, an extension of symplectic geometry to closed differential forms of higher degree. Its underlying logic is very different from that of symplectic geometry and remains poorly understood. In this context, a multisymplectic form is a closed, non-degenerate (n+1)-form, where non-degeneracy is understood in an adapted sense. Such forms enrich the structures used particularly in theoretical physics and differential geometry. The general aim is to study the automorphisms of such forms—that is, the diffeomorphisms of the underlying manifold that preserve the multisymplectic form ω—and to explore their action on the manifold. A central point of the project is the investigation of the so-called “0–1–∞” conjecture, formulated by Ryvkin and Wurzbacher. This conjecture posits that the automorphism group of a multisymplectic manifold can act only in three ways: non-transitively, 1-transitively, or ∞-transitively—without intermediate cases. Testing this conjecture requires a deeper understanding of the local and global properties of these symmetry groups, as well as the constraints imposed by the geometry of ω. Another key issue is to characterize the situations in which the multisymplectic structure can be locally simplified using flat coordinates, i.e., a local system in which ω has constant coefficients. While this problem is well known in symplectic geometry (via Darboux's theorem), it becomes significantly more delicate in the multisymplectic setting, where the existence of such coordinates is not guaranteed. This leads to the use of G-structure theory, which reformulates such questions of integrability in terms of principal fiber structures and geometric obstructions. The thesis is divided into three parts: 1° Regular case (constant linear type): This part will investigate the (formal or actual) integrability of the G-structures associated with ω, and seek to quantify possible obstructions. 2° Study of the automorphism group: This part will analyze the conditions under which the automorphism group has finite dimension, and when it acts transitively, k-transitively, or ∞-transitively. This will allow for an assessment of the scope of the 0–1–∞ conjecture. 3°Singular case (non-constant linear type): This part will consider points where the local type of ω varies, focusing on the associated internal symmetries, i.e., Hamiltonian vector fields defined by equations of the form i_X ω=d. These objects generally form an L ∞- -algebras, which are more complex than classical Lie algebras. In this latter framework, the project draws upon recent developments in higher Lie groupoids. These objects describe symmetries not only between points, but also between paths, homotopies, and beyond—an essential feature for understanding Hamiltonian structures in higher geometry. For example, in 2-plectic geometry, the notion of a trajectory becomes that of a Hamiltonian surface constrained by 2-arrow relations in a higher groupoid. This work is part of an active research effort in Metz. It aims to develop a deeper understanding of multisymplectic structures in both regular and singular contexts, moving beyond classical approaches to fully incorporate the 'higher' and “up-to-homology” nature of the symmetries that arise in geometry and physics.
Profil du candidat
Nous cherchons une étudiante ou un étudiant de Master 2 en mathématiques qui maîtrise bien les concepts de base de l'algèbre (commutative) sur R ou C, des groupes de Lie, et des variétés différentielles.
Il n'est pas nécessaire d'avoir un bon niveau en physique théorique.
Candidate profile
We are looking for a Master's student (second year) in mathematics with a solid understanding of the fundamental concepts of (commutative) algebra over R or C, Lie groups, and differential manifolds.
A strong background in theoretical physics is not required.
Référence biblio
[1] L. Ryvkin, Darboux type theorems in multisymplectic geometry,
arXiv:2503.03672 (2025).
[2] L. Ryvkin, T. Wurzbacher, An invitation to multisymplectic geometry,
J. Geometry and Physics, arXiv:1804.02553 (2018).
[3] S.-R. Fischer, C. Laurent-Gengoux, A classification of neighborhoods
around leaves of a singular foliation, arXiv:2401.05966 (2024).
[4] S. Kobayashi, Transformation groups in differential geometry.
[5] P. Michor and C. Vizman, n-Transitivity of certain diffeomorphism
groups, Acta Math. Univ. Comenianae (1994).
[6] W.M. Boothby, The transitivity of certain geometric structures, Trans.
Amer. Math. Soc. (1969).
[7] M. Crainic et al., Lectures on Poisson geometry, AMS (2021).
[8] S. Sternberg, Lectures on differential geometry (Reprint of the second
edition), AMS Chelsea 1999.
[9] M. Wagner and T. Wurzbacher, Hamiltonian dynamics and geometry
on the six-sphere, arXiv:2502.00756 (2025).
[10] M. Wagner and T. Wurzbacher, Notes on equivalent formulations of
Hamiltonian dynamics on multicotangent bundles, arXiv:2410.21068
(2024).
[11] H. Bursztyn et al., Multisymplectic geometry and Lie groupoids, in ”Ge-
ometry, Mechanics and Dynamics : the legacy of Jerry Marsden”, Fields
Institute Communication Series.
[12] A. Garmendia and F. Cattafi, PB-groupoids vs VB-groupoids,
arXiv:2406.06259 (2024).
[13] F. Cantrijn, L.A. Ibort and M. de Le´on, Hamiltonian structures on
multisymplectic manifolds, Rend. Semin. Mat. Torino (1996).