Coefficients de Littlewood-Richardson et quotients GIT

Mots clés

coefficients de littlewood-richardson, GIT

Détail de l'offre

Etant données trois partitions, le coefficient de Littlewood-Richardson correspondant peut être défini comme
la multiplicité de la représentation de Schur de GL_N associée à une des partitions dans le produit tensoriel correspondant aux deux autres partitions.

De manière plus géométrique, à une dualité près, ce coefficient est égal
à la dimension de l'espace des invariants pour le
group GL_N dans l'espace des sections d'un certain fibré en droites sur le cube de la variété de drapeaux complets dans C^N

L'étude de ces coefficients, qui sont liés aussi aux polynômes
symétriques, remonte aux années 1930. Une formule combinatoire
permettant de les calculer, la règle de Littlewood-Richardson, a été formulée en
1934, mais sa preuve complète a dû attendre 1977 avec l'outil combinatoire
de la correspondance de Robinson-Schensted.

Un point de vue plus récent consiste à étudier les propriétés de familles
de coefficients de Littlewood-Richardson, et les relations qu'il peut exister entre
plusieurs tels coefficients, plutôt que de se fixer sur un coefficient
particulier. Par exemple, une conjecture de Fulton, démontrée, énonce que si un coefficient de Littlewood-Richardson égale 1, il en est de même des coefficients obtenus en dilatant toutes les parts de la partition par un coefficient entier fixé.

Récemment, avec Nicolas Ressayre, nous avons montré une variante de ce résultat, lorsqu'un coefficient de Littlewood-Richardson est égal à 2. En multipliant chaque part des partitions par p et en répétant chaque part q fois, on obtient un coefficient égal au coefficient binomial (p,p+q).

Le point de vue de la théorie géométrique des invariants explique assez
simplement ces résultats. Dans le cas d'un coefficient égal à 1, un
certain quotient GIT est réduit à un
point, de sorte que les espaces de sections GL_N-invariantes qu'on
cherche à déterminer, et qui s'identifient
aux espaces de sections des puissances d'un fibré ample sur ce quotient,
sont de dimension 1.

Dans le cas d'un coefficient égal à 2, ce quotient GIT est l'espace projectif de dimension q, de sorte
que le coefficient binomial (p,p+q) apparaît naturellement comme la dimension de l'espace des sections
de O(p) sur cet espace projectif.

Trois pistes sont proposées pour ce sujet de thèse:
* D'une part on pourra affaiblir l'hypothèse c(\lambda,\mu,\nu)=1
en l'hypothèse c(\lambda(p,1),\mu(p,1)}^{\nu(p,1))=kp+1$ pour un
certain entier k. Dans ce cas, on s'attend à ce que le quotient GIT
dont il est question ci-dessus soit encore l'espace projectif de dimension q, mais polarisé
par O(k), ce qui conduirait à ce que c(\lambda(p,q),\mu(p,q)}^{\nu(p,q)) soit égal au coefficient binomial (q,kp+q).
* D'autre part on pourra s'intéresser aux résultats analogues concernant les variétés de carquois. Le résultat précédent dans le cadre des carquois a été montré par Sherman, et on pourrait espérer que la généralisation ci-dessus reste valable dans le cas des variétés de carquois.
* Enfin, d'une manière plus ambitieuse, une étude géométrique fine et systématique des quotients GIT des variétés de drapeaux pourrait être conduite. Comme ces variétés sont projectives et normales entre autres propriétés générales connues, on peut s'attendre à ce que si elles admettent un fibré ample possédant peu de sections, il soit possible de les classifier. Ceci conduirait à de nouveaux résultats dans l'esprit des résultats ci-dessus.