Offre de thèse
Coefficients de Littlewood-Richardson et quotients GIT
Date limite de candidature
31-05-2025
Date de début de contrat
01-09-2025
Directeur de thèse
CHAPUT Pierre-Emmanuel
Encadrement
entrevue hebdomadaire avec l'encadrant
Type de contrat
école doctorale
équipe
GEOMETRIEcontexte
GITspécialité
Mathématiqueslaboratoire
IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
Mots clés
coefficients de littlewood-richardson, GIT
Détail de l'offre
Etant données trois partitions, le coefficient de Littlewood-Richardson correspondant peut être défini comme
la multiplicité de la représentation de Schur de GL_N associée à une des partitions dans le produit tensoriel correspondant aux deux autres partitions.
De manière plus géométrique, à une dualité près, ce coefficient est égal
à la dimension de l'espace des invariants pour le
group GL_N dans l'espace des sections d'un certain fibré en droites sur le cube de la variété de drapeaux complets dans C^N
L'étude de ces coefficients, qui sont liés aussi aux polynômes
symétriques, remonte aux années 1930. Une formule combinatoire
permettant de les calculer, la règle de Littlewood-Richardson, a été formulée en
1934, mais sa preuve complète a dû attendre 1977 avec l'outil combinatoire
de la correspondance de Robinson-Schensted.
Un point de vue plus récent consiste à étudier les propriétés de familles
de coefficients de Littlewood-Richardson, et les relations qu'il peut exister entre
plusieurs tels coefficients, plutôt que de se fixer sur un coefficient
particulier. Par exemple, une conjecture de Fulton, démontrée, énonce que si un coefficient de Littlewood-Richardson égale 1, il en est de même des coefficients obtenus en dilatant toutes les parts de la partition par un coefficient entier fixé.
Récemment, avec Nicolas Ressayre, nous avons montré une variante de ce résultat, lorsqu'un coefficient de Littlewood-Richardson est égal à 2. En multipliant chaque part des partitions par p et en répétant chaque part q fois, on obtient un coefficient égal au coefficient binomial (p,p+q).
Le point de vue de la théorie géométrique des invariants explique assez
simplement ces résultats. Dans le cas d'un coefficient égal à 1, un
certain quotient GIT est réduit à un
point, de sorte que les espaces de sections GL_N-invariantes qu'on
cherche à déterminer, et qui s'identifient
aux espaces de sections des puissances d'un fibré ample sur ce quotient,
sont de dimension 1.
Dans le cas d'un coefficient égal à 2, ce quotient GIT est l'espace projectif de dimension q, de sorte
que le coefficient binomial (p,p+q) apparaît naturellement comme la dimension de l'espace des sections
de O(p) sur cet espace projectif.
Trois pistes sont proposées pour ce sujet de thèse:
* D'une part on pourra affaiblir l'hypothèse c(\lambda,\mu,\nu)=1
en l'hypothèse c(\lambda(p,1),\mu(p,1)}^{\nu(p,1))=kp+1$ pour un
certain entier k. Dans ce cas, on s'attend à ce que le quotient GIT
dont il est question ci-dessus soit encore l'espace projectif de dimension q, mais polarisé
par O(k), ce qui conduirait à ce que c(\lambda(p,q),\mu(p,q)}^{\nu(p,q)) soit égal au coefficient binomial (q,kp+q).
* D'autre part on pourra s'intéresser aux résultats analogues concernant les variétés de carquois. Le résultat précédent dans le cadre des carquois a été montré par Sherman, et on pourrait espérer que la généralisation ci-dessus reste valable dans le cas des variétés de carquois.
* Enfin, d'une manière plus ambitieuse, une étude géométrique fine et systématique des quotients GIT des variétés de drapeaux pourrait être conduite. Comme ces variétés sont projectives et normales entre autres propriétés générales connues, on peut s'attendre à ce que si elles admettent un fibré ample possédant peu de sections, il soit possible de les classifier. Ceci conduirait à de nouveaux résultats dans l'esprit des résultats ci-dessus.
Keywords
Littlewood-Richardson coefficients, GIT
Subject details
Given three partitions, the corresponding Littlewood-Richardson coefficient can be defined as the multiplicity of the Schur representation of GL_N associated with one of the partitions in the tensor product corresponding to the other two partitions. More geometrically, with one duality, this coefficient is equal to the dimension of the space of invariants for the group GL_N in the space of sections of a certain straight fibred over the cube of the variety of complete flags in C^N. The study of these coefficients, which are also related to symmetric polynomials, dates back to the 1930s. A combinatorial formula for calculating them, the Littlewood-Richardson rule, was formulated in 1934, but its complete proof had to wait until 1977 with the combinatorial tool of the Robinson-Schensted correspondence. A more recent approach is to study the properties of families of Littlewood-Richardson coefficients, and the relationships that may exist between several such coefficients, rather than focusing on a particular coefficient . For example, one of Fulton's conjectures, which has been demonstrated, states that if a Littlewood-Richardson coefficient equals 1, then so do the coefficients obtained by dilating all the parts of the partition by a fixed integer coefficient. Recently, with Nicolas Ressayre, we showed a variant of this result, when a Littlewood-Richardson coefficient is equal to 2. By multiplying each part of the partitions by p and repeating each part q times, we obtain a coefficient equal to the binomial coefficient (p,p+q). The point of view of the geometric theory of invariants explains these results quite simply. In the case of a coefficient equal to 1, a certain quotient GIT is reduced to a point, so that the spaces of GL_N-invariant sections that we seek to determine, and which are identified with the spaces of sections of the powers of an ample fibred over this quotient, are of dimension 1. In the case of a coefficient equal to 2, this GIT quotient is the projective space of dimension q, so that the binomial coefficient (p,p+q) naturally appears as the dimension of the space of sections of O(p) on this projective space. Three avenues are proposed for this thesis topic: * On the one hand we can weaken the hypothesis c(\lambda,\mu,\nu)=1 into the hypothesis c(\lambda(p,1),\mu(p,1)}^{\nu(p,1))=kp+1$ for a certain integer k. In this case, we expect the GIT quotient referred to above to still be the projective space of dimension q, but polarised by O(k), which would lead to c(\lambda(p,q),\mu(p,q)}^{\nu(p,q)) being equal to the binomial coefficient (q,kp+q). * We may also be interested in analogous results concerning quiver varieties. The previous result for quivers was shown by Sherman, and one might hope that the above generalisation remains valid for quiver varieties. * Finally, in a more ambitious way, a fine and systematic geometric study of the GIT quotients of flag varieties could be carried out. Since these varieties are projective and normal, among other known general properties, we can expect that if they admit an ample fibred with few sections, it will be possible to classify them. This would lead to new results in the spirit of the above results.
Profil du candidat
étudiant ayant les bases de géométrie algébrique, de groupes algébriques, et de théorie des représentations
Candidate profile
studiant knowing basis of algebraic geometry, algebraic groups, and representation theory
Référence biblio
arXiv:2206.03054 [pdf, ps, other] math.AG math.RT
Bidilatation of Small Littlewood-Richardson Coefficients
Authors: Pierre-Emmanuel Chaput, Nicolas Ressayre