Représentations de carquois et variétés de drapeaux des paires symétriques de type fini

Mots clés

groupes algébriques, représentations de carquois, variétés de drapeaux, paires symétriques

Détail de l'offre

Le projet de thèse se place dans la théorie des groupes algébriques, les objets centraux du projet étant les variétés de drapeaux, plus précisément les variétés de drapeaux multiples.
Un problème standard dans ce cadre consiste à chercher à classifier les sous-groupes algébriques d'un groupe réductif G agissant sur une variété de drapeaux associée à G (éventuellement multiple) avec un nombre fini d'orbites. Cette situation a des applications en théorie des représentations et plus précisément dans l'étude des orbites nilpotentes : dans ce cas, par une construction due à Steinberg, à chaque orbite, on peut en principe associer une variété nilpotente, et l'étude des objets nilpotents qui apparaissent par ce procédé est une direction de recherche actuelle.
La construction de Steinberg est valide pour une famille de variétés de drapeaux multiples introduite récemment par K. Nishiyama et H. Ochiai, ces variétés sont de la forme G/P x K/Q, produits de variétés de drapeaux partiels de G et K, où (G,K) est une paire symétrique : par exemple, (SL(n),SO(n)) (type A1) ou (SL(2n), Sp(2n)) (type A2), ou encore (GL(p+q);GL(p) x GL(q)) (type A3).
Ces “variétés doubles” généralisent en particulier les produits de deux ou trois variétés de drapeaux de G.
Pour une paire symétrique donnée, le problème de classifier les couples (P,Q) donnant lieu à une variété double avec un nombre fini d'orbites pour K est un problème ouvert. Le projet de thèse vise à résoudre ce problème dans les types A1 et A2. (Le type A3 a été traité récemment par Homma.)
Pour cela, la méthode envisagée est la théorie des représentations de carquois, qui s'est avérée efficace pour ce type de problème : le but consiste alors de caractériser certaines sous-catégories de représentations d'algèbres de dimension finie, ayant un nombre fini d'indécomposables de vecteur dimension donnée. On s'appuiera sur des travaux de Magyar-Weyman-Zelevinsky de 1999 et 2000.
Les résultats complémentaires suivants sont également visés dans la thèse : proposer des paramétrisations des orbites dans certains cas, et déterminer les propriétés topologiques des orbites, tout cela dans le but d'expliciter leurs variétés nilpotentes associées, comme décrit dans le paragraphe ci-dessus. Une question annexe qui pourra aussi être abordée : classifier les variétés doubles ayant une orbite dense et voir dans quelle mesure cette classification diffère de celle des variétés doubles ayant un nombre fini d'orbites.