Offre de thèse
Représentations de carquois et variétés de drapeaux des paires symétriques de type fini
Date limite de candidature
31-05-2025
Date de début de contrat
01-10-2025
Directeur de thèse
FRESSE Lucas
Encadrement
Le-la doctorant-e fera partie de l'équipe géométrie de l'Institut Elie Cartan de Lorraine et participera aux activités de l'équipe (séminaire, groupes de travail). L'encadrement se fera au travers de rencontres au minimum hebdomadaires avec le directeur de thèse. Ponctuellement, dans le but d'approfondir certaines notions utiles dans la thèse, et aussi pour susciter des échanges avec d'autres collègues de l'équipe, des groupes de travail pourront être organisés.
Type de contrat
école doctorale
équipe
GEOMETRIEcontexte
La thèse s'intéresse à des objets introduits récemment : les variétés de drapeaux doubles associées aux paires symétriques (et à leur application en théorie des représentations).spécialité
Mathématiqueslaboratoire
IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
Mots clés
groupes algébriques, représentations de carquois, variétés de drapeaux, paires symétriques
Détail de l'offre
Le projet de thèse se place dans la théorie des groupes algébriques, les objets centraux du projet étant les variétés de drapeaux, plus précisément les variétés de drapeaux multiples.
Un problème standard dans ce cadre consiste à chercher à classifier les sous-groupes algébriques d'un groupe réductif G agissant sur une variété de drapeaux associée à G (éventuellement multiple) avec un nombre fini d'orbites. Cette situation a des applications en théorie des représentations et plus précisément dans l'étude des orbites nilpotentes : dans ce cas, par une construction due à Steinberg, à chaque orbite, on peut en principe associer une variété nilpotente, et l'étude des objets nilpotents qui apparaissent par ce procédé est une direction de recherche actuelle.
La construction de Steinberg est valide pour une famille de variétés de drapeaux multiples introduite récemment par K. Nishiyama et H. Ochiai, ces variétés sont de la forme G/P x K/Q, produits de variétés de drapeaux partiels de G et K, où (G,K) est une paire symétrique : par exemple, (SL(n),SO(n)) (type A1) ou (SL(2n), Sp(2n)) (type A2), ou encore (GL(p+q);GL(p) x GL(q)) (type A3).
Ces “variétés doubles” généralisent en particulier les produits de deux ou trois variétés de drapeaux de G.
Pour une paire symétrique donnée, le problème de classifier les couples (P,Q) donnant lieu à une variété double avec un nombre fini d'orbites pour K est un problème ouvert. Le projet de thèse vise à résoudre ce problème dans les types A1 et A2. (Le type A3 a été traité récemment par Homma.)
Pour cela, la méthode envisagée est la théorie des représentations de carquois, qui s'est avérée efficace pour ce type de problème : le but consiste alors de caractériser certaines sous-catégories de représentations d'algèbres de dimension finie, ayant un nombre fini d'indécomposables de vecteur dimension donnée. On s'appuiera sur des travaux de Magyar-Weyman-Zelevinsky de 1999 et 2000.
Les résultats complémentaires suivants sont également visés dans la thèse : proposer des paramétrisations des orbites dans certains cas, et déterminer les propriétés topologiques des orbites, tout cela dans le but d'expliciter leurs variétés nilpotentes associées, comme décrit dans le paragraphe ci-dessus. Une question annexe qui pourra aussi être abordée : classifier les variétés doubles ayant une orbite dense et voir dans quelle mesure cette classification diffère de celle des variétés doubles ayant un nombre fini d'orbites.
Keywords
algebraic groups , quiver representations, flag varieties, symmetric pairs
Subject details
The thesis is in the field of algebraic groups. The main objects of study of the thesis are flag varieties, more precisely multiple flag varieties. A standard question in this situation is to classify the algebraic subgroups of a reductive group G which act on a (possibly multiple) flag variety associated to G with finitely many orbits. This situation has applications in representation theory, and more precisely in the study of nilpotent orbits : in this case, by a construction due to Steinberg, to each orbit one can in principle associate a nilpotent variety, and the study of the nilpotent objects that arise through this procedure is a research topic of current interest. Steinberg's construction is valid for a family of multiple flag varieties introduced recently by K. Nishiyama et H. Ochiai. These varieties are of the form G/P x K/Q, and so are products of flag varieties of G and K, where (G,K) is a symmetric pair : for example, (SL(n),SO(n)) (type A1) or (SL(2n), Sp(2n)) (type A2), or (GL(p+q);GL(p) x GL(q)) (type A3). These “double varieties” generalize in particular the products of two or three flag varieties of G. For a given symmetric pair, the problem to classify all couples (P,Q) giving rise to a double variety with a finite number of orbits for K is an open problem. The thesis aims to solve this problem in types A1 et A2. (Type A3 has been treated recently by Homma.) To this end, the method proposed is the theory of quiver representations, which turned out to be fruitful for such kind of problems : the goal becomes to characterize certain subcategories of modules over finite-dimensional algebras, having a finite number of indecomposable objects of a given dimension vector. One can rely on works of Magyar-Weyman-Zelevinsky (1999 and 2000). Complementary results are also aimed : parametrizations of orbits in certain cases, properties of orbits, all this in the goal to calculate explicitly the aforementioned associated nilpotent varieties. Another question could be to classify double varieties which have a dense orbit of K and see to what extent this classification differs from the one of double varieties having a finite number of orbits.
Profil du candidat
Connaissances en algèbre, géométrie algébrique, groupes algébriques, du niveau d'un Master de recherche.
Candidate profile
Research Master level in algebra, algebraic geometry, algebraic groups.
Référence biblio
[FN] L. Fresse, K. Nishiyama, A generalization of Steinberg theory and an exotic moment map,
Int. Math. Res. Not. IMRN 2022, no. 1, 1--62.
[HNOO] X. He, Xuhua, K. Nishiyama, H. Ochiai, Y. Oshima, On orbits in double flag varieties for symmetric pairs, Transform. Groups 18 (2013), no. 4, 1091-1136.
[Ho] H. Homma, Double Flag Varieties and Representations of Quivers, arXiv:2103.14509.
[MWZ1] P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 141 (1999), no. 1, 97--118.
[MWZ2] P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Symplectic multiple flag varieties of finite type, J. Algebra 230 (2000), no. 1, 245--265.