Offre de thèse
Systole, entropie et espace des modules des surfaces hyperboliques de type fini
Date limite de candidature
11-07-2025
Date de début de contrat
01-09-2025
Directeur de thèse
DESPRE Vincent
Encadrement
Co-encadrée par Samuel Tapie (IECL)
Type de contrat
école doctorale
équipe
contexte
Thèse partagée entre le LORIA (équipe Gamble) et l'IECL (équipe de géométrie)spécialité
Informatiquelaboratoire
LORIA - Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications
Mots clés
Géométrie hyperbolique, Géométrie algorithmique
Détail de l'offre
Ce sujet est centré sur la géométrie des surfaces hyperboliques avec une double approche mathématique
(géométrie riemannienne) et informatique (géométrie algorithmique).
Une surface hyperbolique Σ est une surface complète munie d'une métrique riemannienne à courbure
−1. Elle peut être vue comme le quotient du plan hyperbolique H2 par un groupe discret d'isométries
Γ, qui dans cette thèse sera supposé engendré par un nombre fini (strictement supérieur à un) de
générateurs. Elle a donc un genre g ≥ 0 et possiblement (si elle n'est pas compacte) un nombre n de
cusps (bouts de volume fini) et k de trompettes (bouts de volume infini), avec g + k + n ≥ 2. Dans ce
texte nous supposons que n = 0, mais des variantes intéressantes en présence de cusps pourront aussi
être étudiées.
La systole sys(Σ) de Σ est la longueur de sa plus courte géodésique fermée. Son entropie hΣ est le
taux de croissance exponentielle du nombre de géodésiques fermées.
C'est aussi l'exposant critique de la série de Poincaré
au dessus duquel cette série est convergente.
Lorsque Σ est compacte de genre g, la systole est majorée par une constante universelle multipliée
par log g, voir par exemple [Par12] et les références qui y sont citées1 et l'entropie vérifie hΣ = 1. Si
Σ possède au moins une trompette, alors la systole de Σ peut être arbitrairement grande et l'entropie
vérifie hΣ ∈ (0, 1) tout en pouvant être arbitrairement proche de 0 ou 1 (voir par exemple [McM]).
Voici les deux questions au coeur de ce sujet de thèse. La première est célèbre et notoirement
difficile mais des outils algorithmiques pourraient l'approcher, l'autre semble moins connue et offre des
pistes de résolution accessibles.
1. Si Σ est compacte de genre g, quelle est la valeur maximale de sa systole ? Est-elle atteinte (ou
presque) par des métriques explicites ?
2. Si Σ est de genre g avec k ≥ 1 trompettes, a-t-on une majoration de l'entropie par une fonction
ne dépendant que de g, k et sys(Σ) qui tende vers 0 lorsque sys(Σ) est grand ? Si oui, peut-on
avoir une estimation optimale de C ? A-t-on des métriques proches de réaliser cette inégalité ?
Keywords
Hyperbolic geometry, Computational geometry
Subject details
This topic focuses on the geometry of hyperbolic surfaces through a dual approach—mathematical (Riemannian geometry) and computational (algorithmic geometry). A hyperbolic surface Σ is a complete surface equipped with a Riemannian metric of curvature −1. It can be seen as the quotient of the hyperbolic plane ℍ² by a discrete group of isometries Γ, which in this thesis is assumed to be generated by a finite number (strictly greater than one) of generators. Therefore, the surface has a genus g ≥ 0 and possibly (if non-compact) a number n of cusps (ends of finite volume) and k of funnels (ends of infinite volume), with g + k + n ≥ 2. In this work, we assume n = 0, though interesting variations in the presence of cusps may also be studied. The systole sys(Σ) of Σ is the length of its shortest closed geodesic. Its entropy hₛ is the exponential growth rate of the number of closed geodesics. It also corresponds to the critical exponent of the Poincaré series above which the series converges. When Σ is compact and of genus g, the systole is bounded above by a universal constant times log g (see, for instance, [Par12] and the references therein), and the entropy satisfies hₛ = 1. If Σ has at least one funnel, then its systole can be arbitrarily large, and the entropy satisfies hₛ ∈ (0, 1), while potentially being arbitrarily close to 0 or 1 (see, for example, [McM]). The following two questions lie at the heart of this thesis topic. The first is well-known and notoriously difficult, but algorithmic tools could provide new approaches; the second is less well-known and offers more accessible avenues of investigation: 1 If Σ is compact of genus g, what is the maximum possible value of its systole? Is this maximum (or an approximation thereof) achieved by explicit metrics? 2 If Σ has genus g with k ≥ 1 funnels, can the entropy be bounded above by a function depending only on g, k, and sys(Σ), which tends to 0 as sys(Σ) grows? If so, can one obtain an optimal estimate for such a bound? Are there metrics that nearly achieve this inequality?
Profil du candidat
Nous recherchons un(e) candidat(e) intéressé(e) par la géométrie riemannienne des surfaces, tant dans
ses aspects théoriques qu'algorithmiques.
Candidate profile
We are looking for a candidate with an interest in the Riemannian geometry of surfaces, both in its theoretical and algorithmic aspects.
Référence biblio
[Des23] V. Despré, Benedikt Kolbe, Hugo Parlier and Monique Teillaud, Computing a Dirichlet
domain for a hyperbolic surface, International Symposium on Computational Geometry
(2023).
2[Jam21] P. Jammes, Systole et petites valeurs propres des surfaces hyperboliques, prépubli-
cation (2021), hal-03431800
[McM] C. Mc Mullen, Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of
Dimension, Amer. Jour. Math. Vol. 120, No. 4 (1998), pp. 691–721
[Par12] H. Parlier, The homology systole of hyperbolic Riemann surfaces, Geom Dedicata
157(2012), pp. 331–338